Он начал свою трудовую деятельность в 1949 г. в Челябинском медицинском институте, где более четырех лет проработал на должностях старшего препаратора, старшего лаборанта кафедры анатомии человека. Гражданин Красногвардейского района проявлял себя, как добросовестный сотрудник, стремящийся постоянно повышать свою квалификацию, и постоянно занимался самообразованием. 

В 1954 год был назначен на должность врача-хирурга в городскую больницу г. Миасса. В коллективе имел хорошую репутацию, отношения с коллегами всегда были дружелюбные и поддерживающие. Он стремился к открытости и всегда был отзывчивым человеком, который в трудные моменты жизни мог прийти на помощь, а также просто посочувствовать собеседнику и поддержать словом.

В 1963 год Евстафий Георгиевич переехал в село Красногвардейское (в те года оно называлось село Николаевское). 35 лет проработал в центральной районной больнице заведующим хирургическим отделением, затем врачом-патологоанатомом. В процессе работы зарекомендовал себя как квалифицированный специалист и дисциплинированный, ответственный сотрудник. Был способен качественно выполнять поставленные задачи, а также самостоятельно принимать решения в трудных ситуациях, поэтому за свою длинную карьеру он спас многим людям жизни, которые вспоминают о враче с благодарностью.

 
Большой вклад в жизнь граждан Красногвардейского района можно детально рассмотреть в наградах — за многолетний добросовестный труд в области здравоохранения Котиди Е.Г. награждён медалью — «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина», медаль «Ветеран труда», нагрудным значком «Ударник коммунистического труда», почетными грамотами муниципального образования «Красногвардейский район» и администрации Красногвардейской центральной районной больницы.

 
В Красногвардейском историко-краеведческом музее хранится портрет Евстафия Георгиевича Котиди, написанный Виктором Михайловичем Бирюковым, заслуженным художником Республики Адыгея.