Эскизы Виолончельной сонаты появились в 1947 году после того, как Сергей Прокофьев впервые услышал игру молодого виолончелиста Мстислава Ростроповича. Ростропович играл виолончельную сонату Николая Яковлевича Мясковского и, по всей видимости, исполнение произвело большое впечатление на композитора. Именно после этого Сергей Сергеевич задумал написать произведение специально для Мстислава Ростроповича.

Соната для виолончели с фортепиано в трех частях была завершена в 1949 году. Уже на следующий год премьеру исполнили Мстислав Ростропович и Святослав Рихтер. Перед премьерой Прокофьев пригласил юного виолончелиста, чтобы устроить «прогон», с которым было связано много забавных историй.

Соната для виолончели с фортепиано положила начало дружбе двух музыкантов. После успешной премьеры появилось еще одно сочинение Прокофьева, написанное для Ростроповича — Виолончельный концерт.

«Через некоторое время после исполнения виолончельной сонаты (1 марта 1950 года) Прокофьев решил взяться за Виолончельный концерт. Заботясь о том, чтобы сочиненная им музыка была всегда инструментально интересной, то есть, чтобы в музыке было максимально использованы все выразительные и технические возможности инструмента, Сергей Сергеевич просил меня принести ноты виолончельных произведений „любого качества“, но содержащие в себе интересные пассажи, в которых широко и по-новому используются технические возможности виолончели. Я принес Поппера, Давыдова и тому подобное. Сергей Сергеевич некоторое время изучал техническое использование виолончели в этих сочинениях и каждый раз, когда встречал меня, подшучивая, говорил: „Ну и музычку вы мне принесли“», — вспоминал Мстислав Леопольдович.

Первое исполнение концерта состоялось 18 февраля 1952 года и было отмечено уникальным фактом: премьеру исполнили Мстислав Ростропович в качестве солиста и Святослав Рихтер — в первый и последний раз в качестве дирижера.