Художник происходил из крестьянской семьи, его предками были донские казаки из Новочеркасска. Художественное образование Бегов получил в Алма-Атинском педагогическом институте. Живописью он занимался у художника Зальцмана — ученика Павла Филонова. Несколько лет он преподавал в высших учебных заведениях Казахстана и Киргизии. В 1983 году приехал в Москву уже вполне сложившимся художником. Персональная выставка Алексея Бегова, прошедшая весной 1995 года в Третьяковской галерее, стала событием в художественной жизни столицы. Общее внимание привлекли его «картины-притчи».

Следующим шагом в карьере Алексея Бегова стали персональные выставки в странах Европы и Америки. Особенный успех имела парижская выставка 1997 года, на которой побывал мэтр Жорж Матье — друг Пикассо и Дали. Он весьма лестно отозвался о работах русского художника. Вскоре Алексей Бегов получил крупный заказ на роспись часовни Святого Николая, входящей в архитектурный комплекс замка Шато де Жиль Вуазен, и на несколько лет поселился с семьей в небольшом городке Жанвилль. Его труд по созданию евангельского цикла был удостоен высшей награды Французского академического общества — золотой медали «Арт-Сьянс-Летр» (Искусство, Наука, Литература). В Россию Алексей Бегов вернулся признанным на Западе художником. В июне 2007 г. был избран Почетным членом Российской Академии Художеств.

С 2008 года он жил в двух столицах — Париже и Москве, много работал и участвовал в престижных выставках. В 2014 году художник ушел из жизни в Париже. Картина «Снег и зонтики на Монмартре» из собрания Калужского музея изобразительных искусств принадлежит к числу произведений, написанных Беговым в последние годы. В 2011 году картина экспонировалась на персональной выставке Бегова в Калуге, а затем была приобретена у автора на средства, выделенные департаментом культуры и искусства Калужской области. На картине художник изобразил свою семью на прогулке улице Лавуазье недалеко от его мастерской.