В 1942 году Богатырёв попал на фронт, а через год получил тяжёлое ранение, пуля вошла в шею и вышла через лопатку. Врачи спасли ему жизнь, но Богатырёв остался инвалидом.
Художественное образование  Михаил Григорьевич получил в Московской городской художественной студии для инвалидов Отечественной войны, которую закончил в 1951 году. Учился у И. Гурвича, К. Кона, Д. Налбандяна, Г. Цейтлина. Жил в Москве, на Сиреневом бульваре. 

Участвовал в городских, республиканских и всесоюзных художественных выставках с 1952 года. В члены Союза художников СССР принят в 1961 году. 

Основные темы творчества художника — Великая Отечественная война и жизнь тружеников села. Значительное внимание он уделял также натюрморту и пейзажу.