Живописец родился в 1906 году в Тифлисе (сегодня Тбилиси). Он окончил Тбилисскую академию художеств, где учился у мастеров Евгения Лансере и Егише Татевосяна. После Дмитрий Налбандян работал художником-мультипликатором в «Госкинопроме» и на Одесской киностудии. В 1931 году он переехал в Москву. 

В столице начинающий художник довольно быстро приобрел популярность среди представителей партийной элиты. Вскоре Дмитрий Налбандян стал известен как мастер советского парадного портрета, хотя писал также пейзажи и натюрморты. Среди них — портреты Иосифа Сталина, Никиты Хрущева, Леонида Брежнева и других известных политических деятелей. Коллеги-художники в шутку называли его «Первой кистью Политбюро». Часто художник сам придумывал и режиссировал картины, как например: «Владимир Маяковский в Грузии (Багдади) в 1927 году», «В. И. Ленин и А. М. Горький среди рыбаков на острове Капри. 1908 год», «Вернатун (Могучая кучка)» и другие.
Налбандян был действительным членом Академии художеств СССР. Также он имел звания Народного художника СССР, Героя Социалистического Труда, лауреата Ленинской премии. В 1978 году его удостоили золотой медали Академии художеств за коллективный портрет деятелей армянской культуры под названием «Вернатун». 

В конце 1992 года на основе коллекции, переданной художником в дар городу, Правительство Москвы открыло Музей-мастерскую Дмитрия Налбандяна, который с 2018 года входит в состав Московского музея современного искусства. Сегодня в собрании музея-мастерской более 1500 работ художника. В их числе — пейзажи, натюрморты, портреты и жанровые картины, созданные автором на разных этапах творческого пути, а также материалы из домашнего архива, фотографии, книги, предметы мебели и декоративно-прикладного искусства. 

Картину «Начало весны» Дмитрия Налбандяна передали в фонд Валуйского историко-художественного музея в 1990-х годах из Всесоюзного художественного объединения имени Вучетича Министерства культуры СССР. Мастер пейзажа Налбандян сумел передать все красочное богатство природы в своих пейзажных картинах. Где бы ни был художник, он везде увлеченно работал на пленэре, стараясь отразить изменчивый и причудливый характер природы.