В 1912 году Александр поступил в Первый кадетский корпус в Санкт-Петербурге. С началом революции он оказался в Уфе, где обучался в Школе искусств, организованной Давидом Бурлюком. В 1919 году, с приходом в эти края революции, Алексеев отправляется во Владивосток, откуда — в Японию, Китай, Индию и Египет. В 1921 году он добирается до Парижа. Здесь, став учеником и помощником Сергея Судейкина, он на протяжении нескольких лет работал декоратором-исполнителем в различных парижских театрах. В 1923 году Алексеев женился на Александре Гриневской, актрисе театра Питоева; у супругов родилась дочь Светлана. 

Алексеев осваивает технику изготовления офорта и ксилографии, начинает получать заказы на иллюстрирование книг. Он создает серию ксилографий к повести Николая Гоголя «Нос», но книга не была издана. В период 1923–1929 годов Алексеев создал циклы иллюстраций к произведениям Жана Жироду, Николая Гоголя, Андре Моруа, Жозефа Кесселя, Александра Пушкина, Федора Достоевского. В 1930 году он получил заказ на иллюстрирование романа Сервантеса «Дон Кихот». Работа с кислотами отразилась на здоровье Алексеева: тяжелое заболевание привело к тому, что ему пришлось удалить легкое. 

В 1932 году в жизни Алексеева появилась американская студентка Клер Паркер, пожелавшая изучить технику гравирования. В это время Алексеев разрабатывал технологию создания анимационных фильмов с помощью игольчатого экрана. В 1933 году он создал свой первый фильм «Ночь на Лысой горе». 

В 1940 году Алексеев перебрался в Нью-Йорк, где, получив развод от Гриневской, женился на Клер Паркер. Вместе они продолжили работу над созданием анимационных фильмов. В 1946 году Алексеев вернулся в Париж. В 1952–1954 годах он получил награды Венецианской биеннале. 

В 1959 году с помощью игольчатого экрана Алексеев создал цикл иллюстраций к роману Бориса Пастернака «Доктор Живаго». 

9 августа 1982 года Алексеев покончил с собой в своей студии в Париже.

 
Для фронтисписа издания Алексеев выполнил портрет писателя: огромный лоб, небольшие проницательные глаза, которые словно вглядываются в образы, созданные художником. Алексеев в своих иллюстрациях представил обширную сюжетную галерею, где всё — в динамике, в движении, где практически нет статичных ситуаций. Серия литографий выглядит очень кинематографично, и это неудивительно: художник в тот момент находился на пороге создания своих удивительных по энергетике анимационных фильмов. 

Высочайшего мастерства как создатель литографий Алексеев достигает в сочетании белого и черного цветов. Изображения как бы подсвечены направленным светом, что придает им особую естественность. В 1929 году серия литографий к роману «Братья Карамазовы» выставлялась в галерее «D’Art Contemporain».

 
Роман «Братья Карамазовы» с литографиями Александра Алексеева издан в трех томах, каждый из них помещен в отдельный футляр. Все экземпляры имеют дополнительный четвертый том, содержащий полный набор литографий. Издание вышло в издательстве «Плеяда», основанном в 1923 году другом художника Яковом Шифриным.