В 1965 году окончил техникум железнодорожного транспорта. Трудовую деятельность начал в сентябре 1943 года кочегаром. В то время железнодорожники обслуживали прифронтовую линию, доставляли военную технику и боеприпасы, а обратно вывозили раненых. В 1944 году Юрия Буняева назначили помощником машиниста и как способного, трудолюбивого и любознательного паровозника, направили на шестимесячные курсы в Белгородскую техническую школу. Закончив учёбу с отличием, он получил документы паровозного машиниста. Работал сначала на маневровом паровозе. Потом на «Феликсе Дзержинском» (сверхмощном на то время локомотиве). Его бригада первой в коллективе депо включилась в соревнование за 500-километровый пробег локомотива в сутки. И не только добилась заветного рубежа, но и сэкономила за год 250 тонн угля.

 
С 1953 года Юрий Михайлович стал старшим машинистом. Он выступил инициатором увеличения пробега паровоза в сутки. Высокие среднесуточные пробеги сочетались с вождением тяжеловесных поездов. Только за полугодие 1958 года Буняев провел 80 таких поездов, в которых сверх нормы было перевезено 18 тысяч тонн разных грузов, при этом сэкономлено 163 тонны угля. 1 августа 1959 года Указом Президиума Верховного Совета СССР за выдающиеся успехи, достигнутые в развитии железнодорожного транспорта, Юрию Михайловичу Буняеву было присвоено почётное звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и Золотой медали «Серп и Молот». 

В 1960 году была проведена электрификация Белгородского участка железной дороги. Ю.М. Буняев удостоился права вести первый электровоз. 

После выхода на пенсию в 1986 году продолжал принимать активное участие в общественной жизни.
Награждён Золотой медалью «Серп и молот», орденом Ленина, а также знаком «Почётный железнодорожник».