В ноябре 1997 года был призван в ряды Вооружённых Сил Российской Федерации. Сначала Юрий Чумак проходил службу в Омске в учебном подразделении, затем — в 247-м гвардейском десантно-штурмовом кавказском казачьем полку 7-й гвардейской воздушно-десантной дивизии, который дислоцируется в городе Ставрополь, а в феврале 1999 года был направлен в командировку на продолжение службы на территории республики Дагестан. После вторжения боевиков в Дагестан в составе группы стал совершать разведывательные выходы в тыл противника. 

В августе 1999 года чеченские боевики захватили горное дагестанское село Тандо. Для освобождения нужно было взять стратегическую высоту, которую местные жители называют Ослиное Ухо. 22 августа подразделение получило приказ овладеть этой высотой. Первой была выслана разведгруппа, в состав которой вошел Юрий Чумак. 

Скрытно подобравшись к позициям боевиков, бойцы произвели разведку укреплений и расположения огневых точек. После передачи данных командиру подразделения, готовящемуся к штурму высоты, группа была замечена боевиками. Началось преследование. Когда возникла угроза окружения десантников превосходящими силами противника, командир разведгруппы капитан Игорь Хоменко остался прикрывать отход своих солдат. Вместе с ним остался и сержант Юрий Чумак. В ходе боя, отстреливаясь от наступавших боевиков, они погибли. 

27 октября 1999 года Указом Президента РФ гвардии сержанту Юрию Алексеевичу Чумаку было посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации. Награждён также медалью Жукова.
Похоронен в посёлке Октябрьский Белгородского района Белгородской области. Юрию Алексеевичу Чумаку установлен бюст на Аллее Героев в парке Победы г. Белгород.