Его отец Павел Крыжицкий служил мировым судьей в Царстве Польском, и, когда в 1921 году РСФСР, УССР и Польская республика подписали Рижский договор, городок Сарны, где жила семья Крыжицких, оказался на территории Польши после передела границ.

Сергей Павлович учился в классической русской гимназии, а в 1939 году окончил юридический факультет университета. Во время Первой мировой войны литературовед жил в Варшаве, Гальдейрисе, Грандеберге, а в 1946 году вместе с женой Галиной Волочковой уехал в США, где поступил в Йельский университет.

В 1965 году Крыжицкий защитил докторскую диссертацию по жизни и творчеству Ивана Бунина. В 1972 году в Париже вышла его книга «Творчество Ивана Бунина» — первая монография о писателе, изданная за рубежом на иностранном языке — английском.

Много лет Сергей Павлович и Галина Викторовна преподавали русский язык и литературу в колледже Оберлинского университета, который располагался в штате Огайо. После выхода на пенсию семья переехала ближе к русской общине и поселилась в Толстовском центре недалеко от Нью-Йорка.

Крыжицкий был знаком с писателем Борисом Зайцевым и его дочерью Натальей Соллогуб, прозаиком и наследником бунинского архива Леонидом Зуровым, поэтом Глебом Струве и другими литераторами.

За свою жизнь Крыжицкий собрал множество книг с автографами Ивана Бунина, Бориса Зайцева, Николая Полторацкого, Романа Гуля, Зинаиды Шаховской и других писателей-эмигрантов. Литературовед передал свою коллекцию музею Ивана Бунина с пожеланием, «чтобы его книги не стали „мертвыми“ экспонатами, а были доступны всем, кто ими заинтересуется». Он писал: «Я хочу еще раз подчеркнуть: все мои книги и архивные материалы предназначаются исключительно для музея И. А. Бунина с „наказом-просьбой“ — „Хранить вечно“… Но они должны быть доступны российскому читателю». Сотрудники музея выполнили просьбу Сергея Павловича и в 2000 году открыли экспозиционно-читальный зал, где хранятся издания из его собрания. Эта библиотека состоит из 82 журналов и 494 книг, из которых 108 — с автографами.