Живописец родился 30 октября 1928 года в Архангельской губернии. Еще в детстве он начал интересоваться искусством — это увлечение определило его творческий выбор в будущем. Мамонтов поступил в Харьковское художественное училище, а затем продолжил обучение в Харьковском государственном художественном институте. 

В 1962 году Александр Мамонтов переехал в Белгород. Он работал в жанре пейзажа, натюрморта, портрета и писал сюжетные картины. В 1963–1979 годах Мамонтов выполнял обязанности главного художника Белгородского областного драмтеатра им. Щепкина. За 15 лет работы в театре он оформил более 60 спектаклей, среди которых — «Отелло» Уильяма Шекспира, «В степях Украины» Евдокима Корнейчука, «Евгений Онегин» Александра Пушкина, «Стакан воды» Эжена Скриба, «Сирано де Бержерак» Эдмона Ростана, «Конармия» Исаака Бабеля. В середине 1960-х годов его назначили председателем оргбюро по созданию Белгородского отделения Союза художников РСФСР. С 1968 по 1970 годы Александр Мамонтов был первым председателем Белгородской организации Союза художников, а в течение многих последующих лет — членом его правления. 

При участии Александра Мамонтова в Белгороде открыли детскую художественную школу, в которой он сам преподавал несколько лет. В разные годы его также выбирали депутатом областного и городского совета, председателем худсовета, председателем областного выставкома, членом зонального выставкома и делегатом съездов Союзов художников СССР и РФ. Также Мамонтов работал директором Белгородского отделения Российского Фонда культуры. Произведения живописца хранятся в Белгородском государственном художественном музее, Белгородском государственном краеведческом музее, музее театрального искусства им. Бахрушина, Министерстве культуры РФ, в художественных музеях городов: Старый Оскол, Шебекино, Валуйки, а также в частных коллекциях России, Польши, Чехословакии и Франции. 

Полотно Александра Мамонтова «Пионы» передали в фонд Валуйского историко-художественного музея в 1990-х годах от Всесоюзного художественного объединения имени Вучетича Министерства культуры СССР. Здесь мастер использовал главное для себя художественное направление — цветочную живопись. Он много раз включал в свои композиции этот цветок и букеты из него, но именно картина «Пионы» стала одной из самых ярких и реалистичных. Огромный букет стоит на небольшом столике в стеклянной цилиндрической вазе на красно-коричневом фоне. Сочетание красных оттенков создает впечатление тепла и уюта.