Анатолий Иванович Завьялов родился в 1930 года в городе Калиш (Польша). В 1952 году окончил отделение декоративной живописи Ужгородского училища прикладного и декоративного искусства, Ужгород, Украинская ССР. В 1958 году окончил факультет монументальной живописи Львовского института прикладного и декоративного искусства, Львов Украинская ССР. С 1971 года — член Союз художников СССР. В 1972 году переехал в Новгород. Его мозаичные и монументально-декоративные панно, чеканка украшают многие здания в городе Новгороде и области. Участник областных, зональных, республиканских и международных выставок Произведения Анатолия Ивановича находятся в коллекциях: Государственного украинского музея г. Львова, Новгородского государственного объединенного музея заповедника, Государственного музея художественной культуры Новгородской земли. В коллекциях художественных галерей и частных собраниях в России и за рубежом (в Германии, США, Австрии, Сирии, Латвии, Украине, Белоруссии).