Будущий врач Воронцов родился в деревне Большая Варижа Вышневолоцкого уезда Тверской губернии 29 августа 1919 года седьмым ребенком в крестьянской семье. По окончании средней школы юноша поступил в художественный институт им. В.И. Сурикова, но из-за солидарности с товарищами, не прошедшими по конкурсу, вернулся домой. В 1936 году выбор был иным: А.В. Воронцов стал курсантом военного факультета 2-го Московского медицинского института. В годы учёбы в мединституте Александр Васильевич занимался в студии при Союзе художников у замечательного мастера В.Н. Бакшеева.

Окончание 4 курса совпало с началом Великой Отечественной войны. Тогда же Александру Воронцову присвоили звание лейтенанта медицинской службы и отправили на фронт военным врачом. Боевой путь Александра Васильевича начался в сентябре 1941 г. под городом Тихвин Ленинградской области в должности врача парашютно-десантного батальона. На войне всегда нелегко, но самые трудные периоды службы, по мнению А.В. Воронцова, были связаны со Сталинградской битвой, в которой он принял участие в составе 37-й гвардейской стрелковой дивизии 62-й армии.